Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-5)(X+5)/Ganzzahliger Punkt/Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-25X=X(X-5)(X+5)\,$

über ${}\mathbb {Q}$, vergleiche Beispiel. Es gibt unmittelbar die drei rationalen Punkte ${}(0,0),\,(5,0),\,(-5,0)$. Wir behaupten, dass auch der rationale Punkt

$\left({\frac {1681}{144}},\,{\frac {62279}{1728}}\right)$

auf der Kurve liegt. Dies beruht auf ${}{\frac {1681}{144}}={\frac {41^{2}}{12^{2}}}$, ${}{\frac {1681}{144}}-5={\frac {1681}{144}}-{\frac {720}{144}}={\frac {961}{144}}={\frac {31^{2}}{12^{2}}}$ und ${}{\frac {1681}{144}}+5={\frac {1681}{144}}+{\frac {720}{144}}={\frac {2401}{144}}={\frac {49^{2}}{12^{2}}}$ und auf

${}{\frac {62279}{1728}}={\frac {31\cdot 41\cdot 49}{12^{3}}}\,.$