Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-n)(X+n)/Charakteristik/Glatt/Beispiel

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Wir betrachten die Gleichung

$Y^2=X^3-n^{2}X=X(X-n)(X+n)$

über einem Körper $K$, wobei die Charakteristik $p$ kein Teiler von $2n$ sei. Dann liegt eine glatte kubische Kurve vor. Die partiellen Ableitungen sind $3X^2-n^2$ und $2Y$. Ein singulärer Punkt könnte allenfalls in  $y=0$  und somit bei  $x=0,n,-n$  vorliegen, doch ist da  $3x^2-n^2\ne 0$.