Elliptische Kurve/Y hoch 2 ist X hoch 3 -3X-2/X/Faserring/Aufgabe/Lösung

Der zugrunde liegende Ringhomomorphismus ist

${}R={\mathbb {C} }[X]\subseteq {\mathbb {C} }[X][Y]/(Y^{2}-X^{3}+3X+2)=S\,.$

Zu einem Punkt ${}a\in {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}$ gehört das maximale Ideal ${}(X-a)$ in ${}{\mathbb {C} }[X]$, der zugehörige Faserring ist ${}S/(X-a)S$. Daher ergibt sich

1. ${}P=0$. Der Faserring ist

   ${}{\begin{aligned}{\mathbb {C} }[X][Y]/(Y^{2}-X^{3}+3X+2,X)&={\mathbb {C} }[Y]/(Y^{2}+2)\\&={\mathbb {C} }[Y]/((Y+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })(Y-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }))\\&\cong {\mathbb {C} }[Y]/(Y+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })\times {\mathbb {C} }[Y]/(Y-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })\\&\cong {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }.\end{aligned}}$

2. ${}Q=2$. Der Faserring ist

   ${}{\begin{aligned}{\mathbb {C} }[X][Y]/(Y^{2}-X^{3}+3X+2,X-2)&={\mathbb {C} }[Y]/(Y^{2})\\\end{aligned}}$

3. ${}R=3$. Der Faserring ist

   ${}{\begin{aligned}{\mathbb {C} }[X][Y]/(Y^{2}-X^{3}+3X+2,X-3)&={\mathbb {C} }[Y]/(Y^{2}-16)\\&={\mathbb {C} }[Y]/((Y+4)(Y-4))\\&\cong {\mathbb {C} }[Y]/(Y+4)\times {\mathbb {C} }[Y]/(Y-4)\\&={\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe