Elliptische Kurve/Z/Verschiedene Realisierungen/Bemerkung

Eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ kann man, vorausgesetzt, sie besitzt einen Wendepunkt, nach Fakt in einer kurzen Weierstraßform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$ realisieren und erhält so ein Modell der Kurve über ${}\mathbb {Z}$ und auch für die zugehörigen kubischen Kurven über ${}\mathbb {Z} /(p)$. Eine Kurve über ${}\mathbb {Q}$ kann aber durch verschiedene Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten beschrieben werden, die zu verschiedenen kubischen Kurven über ${}\mathbb {Z}$ führen. Es ist keineswegs klar, ob und in welchem Sinne es eine optimale Realisierung einer elliptischen Kurve über ${}\mathbb {Q}$ als eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z}$ gibt. Es gibt keine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z}$, die für jede Primzahl eine glatte Kurve definiert. Ein naheliegender Ansatz ist, dass die realisierende Kurve über ${}\mathbb {Z}$ für möglichst viele Primzahlen zu einer glatten Kurve führt. Dies ist durchführbar, allerdings darf man sich dabei nicht auf kurze Weierstraßgleichungen beschränken, siehe Aufgabe. Ein anderer Ansatz, der sich nicht an optimalen kubischen Gleichungen, sondern an der Eigenschaft, überall eine glatte (aber nicht notwendigerweise projektive) Gruppe zu liefern, orientiert, firmiert unter dem Namen Neron-Modell.