Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir betrachten affine kubische Gleichungen in den Variablen . Eine Gleichung der Form

nennt man eine lange Weierstraß-Gleichung und eine Gleichung der Form

eine kurze Weierstraß-Gleichung. Die homogene Gestalt der langen Weierstraß-Gleichungen ist

und die homogene Gestalt der kurzen Weierstraß-Gleichung ist

Auf die lange Form kann man eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik nach Fakt stets bringen, aber auch, wie wir jetzt sehen, auf die kurze Form. Wenn man setzt, also den Durchschnitt mit der unendlich fernen Geraden betrachtet, so erhält man , also den einzigen Schnittpunkt , den man üblicherweise als Nullpunkt der Gruppenverknüpfung auf der elliptischen Kurve wählt.



Lemma  

Es sei eine affine kubische Gleichung

über einem Körper der Charakteristik gegeben.

Dann gibt es eine lineare Variablensubstitution derart, dass in den neuen Variablen die Gleichung die Form

besitzt.

Beweis  

Wir schreiben

Dann ist

wobei wir für dieses kubische Polynom neue Bezeichnungen für die Koeffizienten eingeführt haben. Mit der Transformation können wir den quadratischen Term eliminieren.



Beispiel  

Wir möchten die Fermat-Kubik

in Charakteristik auf die kurze Weierstraßform transformieren. Die Hesse-Matrix ist

Daher ist ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen . Die Gleichung wird zu

Die (projektive) Tangente in wird durch beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich führt auf die affine Gleichung

durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form

mit , was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu normieren kann.




Lemma  

Es seien

und

kubische Kurven in kurzer Weierstraßform über einem Körper .

Dann gibt es genau dann eine lineare Variablentransformation, die die erste Gleichung in die zweite überführt, wenn es ein , , mit

und

gibt.

Beweis  

Es sei

Wenn man für den Term einsetzt, so entsteht bei ein -Term, den man durch eine Substitution

nicht wegbekommt. Also muss sein. Damit muss auch sein, da andernfalls ein -Term entsteht. Sei also und , was auf die neue Gleichung

führt. Damit man diese sowohl in als auch in normieren kann, muss

sein. Dies ist nach Aufgabe genau dann der Fall, wenn es ein mit , gibt. Die Normierung wird dann mittels Division durch durchgeführt, was auf und führt.



Definition  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper in kurzer Weierstraßform

Dann nennt man

die Diskriminante von .

Vergleiche zur Diskriminante eines kubischen Polynoms auch Fakt und Beispiel. Die Diskriminante ist genau dann , wenn das kubische Polynom keine mehrfache Nullstelle besitzt, was nach Fakt die Glattheit der Kurve bedeutet, siehe Aufgabe.


Definition  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper in kurzer Weierstraßform

Dann nennt man

wobei die Diskriminante zu bezeichnet, die -Invariante von .

Bei der in Fakt beschriebenen Transformation ändert sich die -Invariante der Kurve nicht, siehe Aufgabe.