Ebene kubische Kurven/Projektiv/Weierstraßform/Textabschnitt

Wir betrachten affine kubische Gleichungen in den Variablen $x,y$. Eine Gleichung der Form

$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$

nennt man eine lange Weierstraß-Gleichung und eine Gleichung der Form

$y^2=x^3+ax+b$

eine kurze Weierstraß-Gleichung. Die homogene Gestalt der langen Weierstraß-Gleichungen ist

$Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}Y{Z}^2=X^3+a_2{X}^{2}Z+a_{4}X{Z}^2+a_6{Z}^3$

und die homogene Gestalt der kurzen Weierstraß-Gleichung ist

$Y^{2}Z=X^3+aX{Z}^2+b{Z}^3.$

Auf die lange Form kann man eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $\ne 2,3$ nach Fakt stets bringen, aber auch, wie wir jetzt sehen, auf die kurze Form. Wenn man  $Z=0$  setzt, also den Durchschnitt mit der unendlich fernen Geraden $V_{+}(Z)$ betrachtet, so erhält man  $X^3=0$,  also den einzigen Schnittpunkt $(0,1,0)$, den man üblicherweise als Nullpunkt der Gruppenverknüpfung auf der elliptischen Kurve wählt.

Lemma

Es sei eine affine kubische Gleichung

$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$

über einem Körper der Charakteristik $\ne 2,3$ gegeben.

Dann gibt es eine lineare Variablensubstitution derart, dass in den neuen Variablen $u,v$ die Gleichung die Form

$v^2=u^3+au+b$

besitzt.

Beweis

Wir schreiben

$v=y+\frac{a_1}{2}x+\frac{a_3}{2}.$

Dann ist

$\begin{array}{cc}{v}^2& ={(y+\frac{a_1}{2}x+\frac{a_3}{2})}^2\\ & =y^2+a_{1}xy+a_{3}y+\frac{1}{2}{a}_1{a}_{3}x+\frac{1}{4}{a}_1^2{x}^2+\frac{1}{4}{a}_3^2\\ & =x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6+\frac{1}{2}{a}_1{a}_{3}x+\frac{1}{4}{a}_1^2{x}^2+\frac{1}{4}{a}_3^2\\ & =x^3+b_2{x}^2+b_{1}x+b_0,\end{array}$

wobei wir für dieses kubische Polynom neue Bezeichnungen für die Koeffizienten eingeführt haben. Mit der Transformation  $u=x+\frac{b_2}{3}$  können wir den quadratischen Term $b_2{x}^2$ eliminieren.

$◻$

Beispiel

Wir möchten die Fermat-Kubik

$X^3+Y^3+Z^3=0$

in Charakteristik $\ne 2,3$ auf die kurze Weierstraßform transformieren. Die Hesse-Matrix ist

$\left(\begin{array}{ccc}6X& 0& 0\\ 0& 6Y& 0\\ 0& 0& 6Z\end{array}\right).$

Daher ist $(0,1,-1)$ ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach $(0,1,0)$ transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen $X=X,Y=Y,W=Y+Z$. Die Gleichung wird zu

$X^3+Y^3+(W-Y{)}^3=X^3+W^3-3W^{2}Y+3W{Y}^2=0.$

Die (projektive) Tangente in $(0,1,0)$ wird durch  $W=0$  beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich $W$ führt auf die affine Gleichung

$x^3=1-3y+3y^2,$

durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form

${\tilde{y}}^2=x^3+b$

mit  $b\ne 0$,  was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu $1$ normieren kann.

Lemma

Es seien

$y^2=x^3+ax+b$

und

$y{\text{'}}^2=x{\text{'}}^3+a^{\prime }{x}^{\prime }+b^{\prime }$

kubische Kurven in kurzer Weierstraßform über einem Körper $K$.

Dann gibt es genau dann eine lineare Variablentransformation, die die erste Gleichung in die zweite überführt, wenn es ein $c\in K$, $c\ne 0$, mit

$c^4{a}^{\prime }=a$

und

$c^6{b}^{\prime }=b$

gibt.

Beweis

Es sei

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}r& s\\ t& u\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right).$

Wenn man für $x$ den Term $r{x}^{\prime }+s{y}^{\prime }$ einsetzt, so entsteht bei  $s\ne 0$  ein $y{\text{'}}^3$-Term, den man durch eine Substitution

$y=t{x}^{\prime }+u{y}^{\prime }$

nicht wegbekommt. Also muss  $s=0$  sein. Damit muss auch  $t=0$  sein, da andernfalls ein $x{\text{'}}^2$-Term entsteht. Es sei also $x=r{x}^{\prime }$ und $y=u{y}^{\prime }$, was auf die neue Gleichung

$u^{2}y{\text{'}}^2=r^{3}x{\text{'}}^3+ar{x}^{\prime }+b$

führt. Damit man diese sowohl in $x^{\prime }$ als auch in $y^{\prime }$ normieren kann, muss

$u^2=r^3$

sein. Dies ist nach Aufgabe genau dann der Fall, wenn es ein  $c\in K^{\times }$  mit $u=c^3$, $r=c^2$ gibt. Die Normierung wird dann mittels Division durch $c^6$ durchgeführt, was auf $a^{\prime }=a{c}^2/c^6=a{c}^{-4}$ und $b^{\prime }=b/c^6=b{c}^{-6}$ führt.

$◻$

Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ in kurzer Weierstraßform

$y^2=x^3+ax+b.$

Dann nennt man

$\mathrm{\Delta }=-16(4a^3+27b^2)$

die Diskriminante von $E$.

Vergleiche zur Diskriminante eines kubischen Polynoms auch Fakt und Beispiel. Die Diskriminante ist genau dann $\ne 0$, wenn das kubische Polynom $x^3+ax+b$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, was nach Fakt die Glattheit der Kurve bedeutet, siehe Aufgabe.

Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ in kurzer Weierstraßform

$y^2=x^3+ax+b.$

Dann nennt man

$j=\frac{-12^3(4a{)}^3}{\mathrm{\Delta }},$

wobei $\mathrm{\Delta }$ die Diskriminante zu $E$ bezeichnet, die $j$-Invariante von $E$.

Bei der in Fakt beschriebenen Transformation ändert sich die $j$-Invariante der Kurve nicht, siehe Aufgabe.