Elliptische Kurve/Z mod p/Weilsche Zetafunktion/Rekursionsbedingung/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt  (5) ist

${}{\#\left(E({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}=p^{r}+1-\alpha ^{r}-\beta ^{r}\,$

bzw.

${}b_{p^{r}}=p^{r}+1-{\#\left(E({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}=\alpha ^{r}+\beta ^{r}\,.$

Insbesondere ist ${}b_{p}=\alpha +\beta$ und die Formel gilt auch für ${}r=0$. Nach Fakt  (3) ist ${}\alpha \cdot \beta =\alpha {\overline {\alpha }}=p$. Somit ist

${}{\begin{aligned}b_{p^{r+1}}&=\alpha ^{r+1}+\beta ^{r+1}\\&=\alpha \cdot \alpha ^{r}+\beta \cdot \beta ^{r}\\&=(\alpha +\beta )\cdot (\alpha ^{r}+\beta ^{r})-\beta \cdot \alpha ^{r}-\alpha \cdot \beta ^{r}\\&=b_{p}\cdot a_{p^{r}}-\alpha \cdot \beta \cdot (\alpha ^{r-1}+\beta ^{r-1})\\&=b_{p}\cdot a_{p^{r}}-p\cdot b_{p^{r-1}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe