Elliptische Kurve/Z mod p/p-Torsion/Hasse-Schranke/Aufgabe/Lösung

Die von dem Element erzeugte Untergruppe von ${}E(\mathbb {Z} /(p))$ ist isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(p)$ und besteht aus ${}p$ Elementen, die alle mit der Ausnahme von ${}{\mathfrak {O}}$ die Ordnung ${}p$ besitzen. Nehmen wir an, dass es außerhalb dieser Untergruppe noch weitere Elemente gibt. Dann besteht ${}E(\mathbb {Z} /(p))$ aus zumindest ${}2p$ Elementen. Wegen der Hasse-Schranke ist

${}\vert {{\#\left(E(\mathbb {Z} /(p))\right)}-(p+1)}\vert \leq 2{\sqrt {p}}\,,$

also folgt

${}p-1\leq 2{\sqrt {p}}\,$

bzw. ${}(p-1)^{2}\leq 4p$ bzw.

${}p^{2}-6p+1\leq 0\,.$

Dies ist für ${}p\geq 7$

ausgeschlossen.

Zur gelösten Aufgabe