Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Existenz/Fakt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper ${}K$ mit einer Weierstraßgleichung

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

und zugehöriger Projektion ${}E\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{1}$, ${}(x,y,z)\longmapsto (x,z)$. Dann erfüllt die zugehörige logarithmische Höhe die folgenden Eigenschaften.

1. Zu jedem Punkt  ${}P\in E(K)$  gibt es eine Konstante ${}C$ derart, dass für jeden Punkt  ${}Q\in E(K)$  die Abschätzung

   ${}h(P+Q)\leq 2h(Q)+C\,$

   erfüllt ist.

2. Es gibt eine Konstante ${}D$ derart, dass für alle  ${}P\in E(K)$  die Abschätzung

   ${}h(2P)\geq 4h(P)-D\,$

   gilt.

3. Zu jeder Schranke ${}S$ ist

   ${\left\{P\in E(K)\mid h(P)\leq S\right\}}$

   endlich.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen