Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reell zwei Komponenten/Erzeuger modulo Torsion/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper ${}K$, gegeben durch eine Gleichung

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

mit  ${}\lambda _{i}\in K$.  Es sei eine reelle Einbettung  ${}K\subseteq \mathbb {R}$  fixiert und es sei  ${}E(\mathbb {R} )=S^{1}\uplus S^{1}$  die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe. Es sei ${}r$ der Rang der Kurve. Zeige, dass beide reellen Zusammenhangskomponenten von ${}E(\mathbb {R} )$ jeweils ${}r$ Elemente besitzen, die jeweils ${}E(K)$ modulo Torsion erzeugen.

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