Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Das Polynom ${}X^{3}+aX+b$ besitzt in ${}\mathbb {R}$ drei Nullstellen.
2. ${}E(\mathbb {R} )$ besteht in der metrischen Topologie aus zwei Zusammenhangskomponenten.
3. Es gilt die Homöomorphie ${}E(\mathbb {R} )\cong S^{1}\uplus S^{1}$.
4. Es ist ${}E(R)\cong S^{1}\times \mathbb {Z} /(2)$ als reelle Lie-Gruppe.

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