Elliptische Kurven/Isogenie/Homomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}E_{1}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(E_{1}\right)}&\\\!\!\!\!\!\,\,\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi _{*}\!\!\!\!\!&\\E_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(E_{2}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, da

${}\varphi ({\mathfrak {O}}_{1})={\mathfrak {O}}_{2}\,$

ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Fakt Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage