Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung

einen -Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach definiert, der nach Fakt der Einsetzungshomomorphismus zu ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist ).

Da der Homomorphismus durch faktorisiert, wird das Ideal auf abgebildet. D.h. der Bildpunkt liegt in , und es liegt eine Abbildung

vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.

Seien dazu zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene -Algebrahomomorphismen vor, und da ein -Algebrahomomorphismus auf einem -Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. , und die Abbildung ist injektiv.

Zur Surjektivität sei ein Punkt vorgegeben. Der zugehörige -Algebrahomomorphismus

annulliert daher jedes , so dass dieser Ringhomomorphismus durch faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus .

Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für und ein Urbild und einen Punkt mit Bildpunkt gilt:

so dass auch die Nullstellen übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage