Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung

$P\circ \phi :K[X_1,\dots ,X_n]\stackrel{\phi }{⟶}K[X_1,\dots ,X_n]/𝔞\cong R\stackrel{P}{⟶}K$

einen $K$-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach $K$ definiert, der nach Fakt der Einsetzungshomomorphismus zu $(a_1,\dots ,a_n)$ ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist $a_i=P(\phi (X_i))$).

Da der Homomorphismus $P\circ \phi$ durch $R$ faktorisiert, wird das Ideal $𝔞$ auf $0$ abgebildet. D.h. der Bildpunkt  $P\circ \phi =(a_1,\dots ,a_n)$  liegt in $V(𝔞)$, und es liegt eine Abbildung

$K-\mathrm{Spek}\left(R\right)⟶V(𝔞)\subseteq {𝔸}_K^n,P⟼P\circ \phi$

vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.

Es seien dazu  $P_1,P_2\in K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$  zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen vor, und da ein $K$-Algebrahomomorphismus auf einem $K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. $P_1\circ \phi \ne P_2\circ \phi$, und die Abbildung ist injektiv.

Zur Surjektivität sei ein Punkt  $(a_1,\dots ,a_n)\in V(𝔞)$  vorgegeben. Der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus

$K[X_1,\dots ,X_n]⟶K,X_i⟼a_i,$

annulliert daher jedes  $F\in 𝔞$,  sodass dieser Ringhomomorphismus durch $K[X_1,\dots ,X_n]/𝔞$ faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus $K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$.

Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für  $G\in R$  und ein Urbild  $\tilde{G}\in K[X_1,\dots ,X_n]$  und einen Punkt  $P\in K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$  mit Bildpunkt  $\tilde{P}=P\circ \phi \in V(𝔞)$  gilt:

$G(P)=P(G)=P(\phi (\tilde{G}))=(P\circ \phi )(\tilde{G})=\tilde{G}(\tilde{P}),$

sodass auch die Nullstellen übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage