Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung
-
einen
-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach
definiert, der nach
Fakt
der Einsetzungshomomorphismus zu
ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann
(und zwar ist
).
Da der Homomorphismus
durch
faktorisiert, wird das Ideal
auf
abgebildet. D.h. der Bildpunkt
liegt in
, und es liegt eine Abbildung
-
vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.
Es seien dazu
zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene
-Algebrahomomorphismen vor, und da ein
-Algebrahomomorphismus auf einem
-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h.
, und die Abbildung ist injektiv.
Zur Surjektivität sei ein Punkt
vorgegeben. Der zugehörige
-Algebrahomomorphismus
-
annulliert daher jedes
, so dass dieser Ringhomomorphismus durch
faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus
.
Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für
und ein Urbild
und einen Punkt
mit Bildpunkt
gilt:
-
![{\displaystyle {}G(P)=P(G)=P(\varphi ({\tilde {G}}))=(P\circ \varphi )({\tilde {G}})={\tilde {G}}({\tilde {P}})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb89a07980fd41fefe1871cfa6138238a764a70)
so dass auch die Nullstellen übereinstimmen.