Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung

$P\circ \varphi :K[X_{1},\ldots ,X_{n}]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\cong R{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach ${}K$ definiert, der nach Fakt der Einsetzungshomomorphismus zu ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist ${}a_{i}=P(\varphi (X_{i}))$).

Da der Homomorphismus ${}P\circ \varphi$ durch ${}R$ faktorisiert, wird das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ auf ${}0$ abgebildet. D.h. der Bildpunkt  ${}P\circ \varphi =(a_{1},\ldots ,a_{n})$  liegt in ${}V({\mathfrak {a}})$, und es liegt eine Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.

Es seien dazu  ${}P_{1},P_{2}\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene ${}K$-Algebrahomomorphismen vor, und da ein ${}K$-Algebrahomomorphismus auf einem ${}K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. ${}P_{1}\circ \varphi \neq P_{2}\circ \varphi$, und die Abbildung ist injektiv.

Zur Surjektivität sei ein Punkt  ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V({\mathfrak {a}})$  vorgegeben. Der zugehörige ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$

annulliert daher jedes  ${}F\in {\mathfrak {a}}$,  sodass dieser Ringhomomorphismus durch ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.

Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für  ${}G\in R$  und ein Urbild  ${}{\tilde {G}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  und einen Punkt  ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  mit Bildpunkt  ${}{\tilde {P}}=P\circ \varphi \in V({\mathfrak {a}})$  gilt:

${}G(P)=P(G)=P(\varphi ({\tilde {G}}))=(P\circ \varphi )({\tilde {G}})={\tilde {G}}({\tilde {P}})\,,$

sodass auch die Nullstellen übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage