Endlich erzeugte integre K-Algebra/C/Nenneraufnahme/Kein maximales Ideal überlebt/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}R={\mathbb {C} }[X,Y]$ und ${}S$ das multiplikative System, das aus allen Produkten von Elementen der Form ${}X-a,\,a\in {\mathbb {C} }$, besteht. Die maximalen Ideale in ${}R$ haben die Form ${}(X-a,Y-b)$. Daher enthält jedes maximale Ideal ein Element aus ${}S$ und wird daher zum Einheitsideal in ${}R_{S}$. Das ist aber kein Körper, da genau die Primelemente ${}X-a$ zu Einheiten gemacht werden, alle anderen Primelemente (beispielsweise ${}Y$)

aber nicht.

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