Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe/Lösung

1. Die Relation ist reflexiv, da man für ${}\varphi$ die Identität nehmen kann, und sie ist transitiv, da es bei ${}uRv$ und ${}vRw$ lineare Abbildungen ${}\varphi ,\psi$ mit

   ${}\varphi (u)=v\,$

   und

   ${}\psi (v)=w\,$

   gibt. Daher ist insgesamt

   ${}(\psi \circ \varphi )(u)=w\,$

   und somit ${}uRw$. Die Relation ist nicht symmetrisch, da aufgrund der Existenz der Nullabbildung stets ${}xR0$ gilt, aber umgekehrt ${}0Rx$ nur bei ${}x=0$ gilt.

2. Wenn man sich auf bijektive Abbildungen beschränkt, so liegt eine Äquivalenzrelation vor. Die Argumentation für die Reflexivität und die Transititvität ist wie in Teil (1), da ja die Verknüpfung von bijektiven Abbildungen wieder bijektiv ist. Wenn ${}uSv$ gilt, so bedeutet dies die Existenz einer bijektiven linearen Abbildung ${}\varphi$ mit

   ${}\varphi (u)=v\,.$

   Somit ist

   ${}u=\varphi ^{-1}(v)\,$

   und daher ${}vRu$.

3. Es gibt zwei Äquivalenzklassen. Der Nullpunkt ${}0$ ist nur zu sich selbst äquivalent, da unter jeder linearen Abbildung ${}0$ auf sich selbst abgebildet wird. Hingegen sind je zwei Vektoren ${}u,v$, die beide nicht ${}0$ sind, untereinander äquivalent. Man kann sie nämlich jeweils zu einer Basis ${}u_{1}=u,u_{2},\ldots ,u_{n}$ bzw. ${}v_{1}=v,v_{2},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ ergänzen. Aufgrund des Festlegungssatzes gibt es eine lineare Abbildung mit ${}\varphi (u_{i})=v_{i}$, also insbesondere mit ${}\varphi (u)=v$, und diese ist bijektiv, da sie eine Basis auf eine Basis abbildet.

Zur gelösten Aufgabe