Endliche Erweiterung/Eine normierte Gleichung/Trägheitsgrad/Abschätzung/Fakt/Beweis

Beweis

Durch Übergang mittels ${}R\rightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})$ kann man direkt annehmen, dass  ${}R=K$  ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung  ${}K\subseteq K[X]/(F)=:B$  vor. Die Primideale von ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ entsprechen den Primidealen von ${}B$ und damit den irreduziblen Teilern von ${}F$ in ${}K[X]$. Sei  ${}F=F_{1}^{n_{1}}\cdots F_{k}^{n_{k}}$  die Primfaktorzerlegung von ${}F$ in ${}K[X]$. Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die

${}K\subseteq K[X]/(F_{j})\,.$

Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper.

Zur bewiesenen Aussage