Endliche Gruppe/Z mod 8/Elementar äquivalent und isomorph/Beispiel

Wir betrachten das Symbolalphabet ${}S$, das neben Variablen aus einer Konstanten ${}0$ und einem zweistelligen Funktionssymbol ${}+$ besteht. Wir betrachten die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(8)$ mit der natürlichen ${}S$-Struktur. Die elementaren Äquivalenzklassen sind durch die Ordnung der Elemente gegeben. Die Klassen sind

$\{\{0\},\,\{4\},\,\{2,6\},\{1,3,5,7\}\}.$

Bei einen ${}S$-Automorphismus auf ${}\mathbb {Z} /(8)$ müssen die einelementigen Klassen auf sich selbst abgebildet werden, bei den anderen hat man gewisse Freiheiten. Allerdings gibt es Abhängigkeiten zwischen den Wahlmöglichkeiten auf den größeren Klassen. Wenn man ${}2$ auf ${}6$ abbilden möchte, so muss man zunächst ${}6$ auf ${}2$ abbilden. Wenn man diese partielle Abbildung

$\{0,2,4,6\}\longrightarrow \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

fortsetzen möchte, so muss man beispielsweise ${}3$ wegen ${}3+3=6\mapsto 2$ auf ${}1$ oder auf ${}5$ abbilden, die Werte ${}3$ oder ${}7$ sind ausgeschlossen.