Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/Beispiel

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Es sei eine endliche Gruppe und ein kommutativer Ring. Wir setzen

mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von sind. Wir definieren auf eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation

führt zur Abbildung

wodurch wir die Komultiplikation

festlegen. Das Basiselement zu wird dabei auf

abgebildet. Das neutrale Element induziert die Auswertungsabbildung

und die Inversenbildung

führt zu

wobei das Basiselement auf abgebildet wird. Die Abbildungen sind offenbar -Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.