Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/Beispiel

Es sei ${}(G,1,\cdot )$ eine endliche Gruppe und ${}K$ ein kommutativer Ring. Wir setzen

${}H:=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\,$

mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von ${}G$ sind. Wir definieren auf ${}H$ eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation

$\mu \colon G\times G\longrightarrow G$

führt zur Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\otimes \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(G\times G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \mu ,$

wodurch wir die Komultiplikation

$\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H$

festlegen. Das Basiselement ${}e_{\sigma }$ zu ${}\sigma \in G$ wird dabei auf

${}\sum _{\tau \cdot \rho =\sigma }e_{\tau }\otimes e_{\rho }=\sum _{\tau }e_{\tau }\otimes e_{\tau ^{-1}\cdot \sigma }\,$

abgebildet. Das neutrale Element ${}1\in G$ induziert die Auswertungsabbildung

$\epsilon \colon H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K,\,f\longmapsto f(1),$

und die Inversenbildung

$\operatorname {inv} \colon G\longrightarrow G,\,\sigma \longmapsto \sigma ^{-1},$

führt zu

$S\colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \operatorname {inv} ,$

wobei das Basiselement ${}e_{\sigma }$ auf ${}e_{\sigma ^{-1}}$ abgebildet wird. Die Abbildungen ${}\Delta ,\epsilon ,S$ sind offenbar ${}K$-Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor ${}\operatorname {Abb} \,{\left(-,K\right)}$ in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.