Endliche Körper/Sukzessive quadratische Erweiterung/Beschreibung/Aufgabe/Lösung

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  1. Wenn ein Nichtquadrat ist, so besitzt das Polynom keine Nullstelle und ist daher irreduzibel. Nach Fakt ist somit ein Körper mit Elementen, also ein Modell des eindeutig bestimmten Körpers .
  2. Dies folgt unmittelbar aus Teil (1), da es in jedem endlichen Körper ungerader Charakteristik Nichtquadrate gibt und somit die sukzessiven quadratischen Erweiterungen durch die Aufnahme einer Quadratwurzel beschrieben werden kann.
  3. In ist
  4. Nehmen wir an, dass ein Quadrat ist. Jedes Element in besitzt eine eindeutige Darstellung der Form mit . Also wäre

    Somit ist und sind Einheiten. Aus folgt

    Da bei die ein Quadrat ist, wäre also ein Quadrat im Widerspruch zur Voraussetzung.

  5. Wir beweisen die Aussage, dass

    ein Körper und dass darin die Restklasse von kein Quadrat ist, durch Induktion über . Für ergibt sich die Aussage aus Teil (1) und (4). Es sei die Aussage nun für ein bewiesen. Es ist

    und, da kein Quadrat darin ist, ist

    ein Körper mit Elementen. Wir betrachten den Restklassenring

    Durch

    ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus

    induziert. Dieser ist injektiv, da links ein Körper steht. Durch

    ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus

    induziert. Dieser ist surjektiv, da im Bild ist und injektiv, da links ein Körper steht. Also ist ein Körper. Da die Restklasse von dabei entspricht, ist sie kein Quadrat nach Teil (4).