Endliche Körper/Sukzessive quadratische Erweiterung/Beschreibung/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Es sei ${}q=p^{e}$ und ${}c\in {\mathbb {F} }_{q}$ ein Nichtquadrat.

1. Zeige

   ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}\cong {\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}\,.$

2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

   ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{2}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{4}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{8}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{16}}\subseteq \ldots \,$

   gibt.

3. Zeige, dass die Restklasse von ${}X$ in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}$ ein Quadrat ist.
4. Es sei nun ${}p=1\mod 4$. Zeige, dass die Restklasse ${}x$ von ${}X$ in ${}{\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}$ ein Nichtquadrat ist.
5. Es sei ${}p=1\mod 4$ und sei ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein Nichtquadrat. Zeige, dass ${}Y^{2^{n}}-a$ für alle ${}n\geq 1$ irreduzibel ist.

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