Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Basis/Charakteristik 0/Nicht 0/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei angenommen, dass die Diskriminante ${}0$ ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix ${}S(b_{i}b_{j})_{ij}$ definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung ${}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ besitzt. Es ist also

${}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S(b_{i}b_{j})=0\,$

für alle ${}j$. Sei ${}x=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\neq 0$. Dann ist für jedes ${}j$

${}S{\left(xb_{j}\right)}=S{\left({\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}\right)}b_{j}\right)}=S{\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}b_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}S{\left(b_{i}b_{j}\right)}=0\,.$

Da ${}x$ eine Einheit in ${}L$ ist, ist auch ${}xb_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, eine Basis und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert ${}0$ hat. Dies ist aber in Charakteristik ${}0$ wegen Fakt  (2)

nicht möglich.

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