Endliche Körpererweiterung/Minimalpolynom/Ist irreduzibel/Aufgabe/Lösung

Es sei $P=P_1{P}_2$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in $L$ die Beziehung

$0=P(x)=P_1(x)P_2(x).$

Da $L$ ein Körper ist, muss ein Faktor null sein, sagen wir $P_1(x)=0$. Da aber $P$ unter allen Polynomen $\ne 0$, die $x$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen $P$ und $P_1$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss $P_2$ konstant ($\ne 0$), also eine Einheit

sein.

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