Endliche Körpererweiterung/Wurzel 7/Motivation/Beispiel

Wir betrachten beispielsweise in ${}\mathbb {R}$ den von ${}\mathbb {Q}$ und ${}{\sqrt {7}}$ erzeugten Unterring

${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\,.$

Er besteht aus allen reellen Zahlen der Form

$a+b{\sqrt {7}}$

mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$. Dabei kann man direkt nachprüfen, dass die Summe und das Produkt von zwei solchen Ausdrücken wieder von dieser Form ist, und somit liegt ein Unterring vor. Es handelt sich aber sogar um einen Körper. Es ist nämlich

${}{\left(a+b{\sqrt {7}}\right)}{\left(a-b{\sqrt {7}}\right)}=a^{2}-7b^{2}\,$

und somit ist für ${}a+b{\sqrt {7}}\neq 0$

${}{\left(a+b{\sqrt {7}}\right)}{\left({\frac {a}{a^{2}-7b^{2}}}-{\frac {b{\sqrt {7}}}{a^{2}-7b^{2}}}\right)}=1\,,$

also ist jedes von ${}0$ verschiedene Element eine Einheit. Da ${}{\sqrt {7}}$ irrational ist, ist ${}a^{2}-7b^{2}\neq 0$. Es liegt also eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\,$

vor. Den Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ kann man auch einfach als Restklassenkörper von ${}\mathbb {Q} [X]$ beschreiben. Der Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,X\longmapsto {\sqrt {7}},$

liefert eine surjektiven Ringhomomorphismus auf das Bild, also

$\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}],\,X\longmapsto {\sqrt {7}}.$

Unter dieser Abbildung geht ${}X^{2}-7$ auf ${}0$, und in der Tat ist der Kern gleich dem Hauptideal ${}(X^{2}-7)$. Nach dem Isomorphiesatz gilt daher

${}\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-7)\cong \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]\,.$