Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt

Es sei  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die ${}n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei  ${}z\in L$  und  ${}z_{i}=\rho _{i}(z)$,   ${}i=1,\ldots ,n$. 

Dann ist

$N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}\operatorname {Spur} {\left(z\right)}=z_{1}+\cdots +z_{n}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen