Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir definieren eine Abbildung

durch

Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, da die Bilder echt unterhalb von oder echt oberhalb von liegen, niemals aber gleich sind, und da maximal der Nachfolger von , also erreicht wird.

Die Abbildung ist injektiv: Wenn und beide unterhalb von liegen, so werden beide Elemente auf sich selbst abgebildet. Wenn beide oberhalb von liegen, so werden beide auf ihren Nachfolger abgebildet, und das Nachfolgernehmen ist injektiv (dies ist die Eigenschaft, dass der Vorgänger eindeutig bestimmt ist). Wenn unterhalb von und oberhalb von (oder umgekehrt) liegt, so ist erst recht oberhalb von und somit von verschieden.

Die Abbildung ist auch surjektiv. Die Zahlen echt unterhalb von werden durch sich selbst erreicht und die Zahlen echt oberhalb von (und unterhalb von einschließlich ) kann man als

mit oberhalb von (einschließlich ) und echt unterhalb von , also maximal gleich schreiben. Insgesamt ist also eine Bijektion.

Zur bewiesenen Aussage