Endliche Menge/Abbildungen nach N/Gesamtvielfachheit/Fakt/Beweis

Beweis

Sei  $M=\{1,2,\dots ,m\}$  und sei $A$ die Menge aller Abbildungen von $M$ nach $\mathbb{N}$ mit Gesamtvielfachheit $\ell$. Wir behaupten, dass die Abbildung

$\Psi :A⟶{𝔓}_{m-1}(\{1,\dots ,m+\ell -1\}),g⟼\{(g(1)+1,g(1)+g(2)+2,g(1)+g(2)+g(3)+3,\dots ,g(1)+g(2)+g(3)+\cdots +g(m-1)+m-1\}$

bijektiv ist. Die Umkehrabbildung ist folgendermaßen gegeben: Zu jeder Teilmenge $m-1$-elementigen Teilmenge  $T\subseteq \{1,\dots ,m+\ell -1\}$  gehört über die induzierte Ordnung eine natürliche Bijektion

$h_T:\{1,\dots ,m-1\}⟶T$

($h_T(1)$ ist das kleinste Element von $T$, usw.) Damit definieren wir eine Abbildung

$\Theta :{𝔓}_{m-1}(\{1,\dots ,m+\ell -1\})⟶A,T⟼(y\mapsto \mathrm{\#}\left(\{z\in \{1,\dots ,m+\ell -1\}\mid h_T(y-1)<z<h_T(y)\}\right)).$

wobei bei die Bedingung für $h_T(0)$ und $h_T(m)$ gegenstandslos ist.

Zur bewiesenen Aussage