Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge ${}M$. Für  ${}{\#\left(M\right)}=1$  ist nichts zu zeigen, sei also  ${}{\#\left(M\right)}\geq 2$.  Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Es sei also ${}\pi$ nicht die Identität, und sei  ${}\pi (x)=y\neq x$.  Es sei ${}\tau$ die Transposition, die ${}x$ und ${}y$ vertauscht. Dann ist ${}y$ ein Fixpunkt von ${}\pi \tau$, und man kann ${}\pi \tau$ auffassen als eine Permutation auf  ${}M'=M\setminus \{y\}$.  Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen ${}\tau _{j}$ auf ${}M'$ mit  ${}\pi \tau =\prod _{j}\tau _{j}$  auf ${}M'$. Dies gilt dann auch auf ${}M$, und daher ist

 ${}\pi ={\left(\prod _{j}\tau _{j}\right)}\tau$. 

Zur gelösten Aufgabe