Endliche Produkte von Mengen/Surjektivität von Produktabbildung/Aufgabe

Es seien $M_{1}, \dots, M_{k}$ und $N_{1}, \dots, N_{k}$ nichtleere Mengen und

φ_{i} : M_{i} ⟶ N_{i}

Abbildungen für $i = 1, \dots, k$ . Es sei $M = M_{1} \times \dots \times M_{k}$ , $N = N_{1} \times \dots \times N_{k}$ , und $φ$ die Produktabbildung, also

φ : M ⟶ N, (x_{1}, \dots, x_{k}) ⟼ (φ_{1} (x_{1}), \dots, φ_{k} (x_{k})) .

a) Zeige, dass $φ$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $φ_{i}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

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