Endliche Produkte von Mengen/Surjektivität von Produktabbildung/Aufgabe/Lösung

a) Es seien alle ${\phi }_i$ surjektiv und sei $y=(y_1,\dots ,y_k)\in N$. Zu jedem $i$ gibt es ein $x_i\in M_i$ mit $\phi (x_i)=y_i$. Daher ist $x=(x_1,\dots ,x_k)$ ein Urbild von $y$ unter $\phi$.

Es sei umgekehrt $\phi$ surjektiv, und sei $y_i\in N_i$ gegeben. Da die $N_j$ alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein $a_j\in N_j$. Wir setzen

$y=(a_1,\dots ,a_{i-1},y_i,a_{i+1},\dots ,a_k)\in N.$

Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild $x\in M$. Für die $i$-te Komponente davon muss ${\phi }_i(x_i)=y_i$ gelten.

b) Es sei $M_1=N_1=\mathrm{\varnothing }$, sei ${\phi }_1$ die leere Abbildung und seien $M_2$ und $N_2$ irgendwelche (nichtleere) Mengen und sei ${\phi }_2:M_2\to N_2$

eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist $M=\mathrm{\varnothing }\times M_2=\mathrm{\varnothing }$ und $N=\mathrm{\varnothing }\times N_2=\mathrm{\varnothing }$ und daher ist die Produktabbildung $\phi ={\phi }_1\times {\phi }_2$ ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle ${\phi }_i$ surjektiv sind.

Zur gelösten Aufgabe