Endliche Symmetriegruppen/Äquivalente Halbachsen und isomorphe Isotropiegruppen/Aufgabe/Lösung

Eine Halbachse zu ${}G$ ist eine Halbgerade, die durch die Drehachse eines Elementes ${}g\in G$, ${}g\neq \operatorname {id}$, gegeben ist. Zwei Halbachsen ${}H$ und ${}H'$ heißen äquivalent, wenn es ein ${}f\in G$ gibt mit ${}f(H)=H'$. Es seien zwei äquivalente Halbachsen ${}H,H'$ gegeben und seien ${}G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}$ und ${}G_{H'}={\left\{g\in G\mid g(H')=H'\right\}}$ die zugehörigen Isotropiegruppen. Dann definiert ${}f\in G$ mit ${}f(H)=H'$ durch

$G_{H}\longrightarrow G_{H'},\,g\longmapsto fgf^{-1},$

einen Isomorphismus der beiden Gruppen. Als ein innerer Automorphismus ist diese Zuordnung ein Isomorphismus auf ${}G$, man muss also nur noch zeigen, dass ${}G_{H}$ nach ${}G_{H'}$ abgebildet wird. Für ${}g\in G_{H}$ ist aber

${}(fgf^{-1})(H')=(fg)f^{-1}(H')=(fg)(H)=f(g(H))=f(H)=H'\,,$

sodass ${}fgf^{-1}\in G_{H'}$ ist.

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