Endliche Symmetriegruppen/Äquivalente Halbachsen und isomorphe Isotropiegruppen/Aufgabe/Lösung

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Eine Halbachse zu ist eine Halbgerade, die durch die Drehachse eines Elementes , , gegeben ist. Zwei Halbachsen und heißen äquivalent, wenn es ein gibt mit . Seien zwei äquivalente Halbachsen gegeben und seien und die zugehörigen Isotropiegruppen. Dann definiert  mit durch

einen Isomorphismus der beiden Gruppen. Als ein innerer Automorphismus ist diese Zuordnung ein Isomorphismus auf , man muss also nur noch zeigen, dass nach abgebildet wird. Für ist aber

so dass ist.