Endliche Symmetriegruppen/Äquivalente Halbachsen und isomorphe Isotropiegruppen/Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Definiere die Begriffe „Halbachse von ${}G$“ und erläutere, wann zwei Halbachsen „äquivalent“ sind. Zu einer Halbachse ${}H$ sei

$G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}.$

Zeige, dass zu zwei äquivalenten Halbachsen

${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ die Gruppen ${}G_{H_{1}}$ und ${}G_{H_{2}}$ isomorph sind.

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