Endliche Wahrscheinlichkeitsräume/Produktmenge/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}f_{i}$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten.

Unter Verwendung des allgemeinen Distributivgesetzes in der Form von Aufgabe gilt
${}{\begin{aligned}\sum _{x\in M}f(x)&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in M_{1}\times \cdots \times M_{n}}f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\\&={\left(\sum _{x_{1}\in M_{1}}f_{1}(x_{1})\right)}\cdots {\left(\sum _{x_{n}\in M_{n}}f_{n}(x_{n})\right)}\\&=1\cdots 1\\&=1.\end{aligned}}$
Es ist entsprechend
${}{\begin{aligned}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})&=\sum _{x\in T_{1}\times \cdots \times T_{n}}f(x)\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in T_{1}\times \cdots \times T_{n}}f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\\&={\left(\sum _{x_{1}\in T_{1}}f_{1}(x_{1})\right)}\cdots {\left(\sum _{x_{n}\in T_{n}}f_{n}(x_{n})\right)}\\&=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n}).\end{aligned}}$