Endliche geometrische Reihe/C/Aufgabe/Lösung

Für ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}z^{k}&=\sum _{k=0}^{n}z^{k}+z^{n+1}\\&={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}+z^{n+1}\\&={\frac {z^{n+1}-1+z^{n+1}(z-1)}{z-1}}\\&={\frac {z^{n+1}-1+z^{n+2}-z^{n+1}}{z-1}}\\&={\frac {z^{n+2}-1}{z-1}},\end{aligned}}$

was die Behauptung für ${}n+1$ ist.

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