Endliche geometrische Reihe/Körper/Induktion/Aufgabe/Lösung

Für ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$ . Es sei die Gleichung für ein bestimmtes ${}n$ bewiesen. Dann ist

{}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}

was die Behauptung für

{}n+1

ist.