Endliche lineare Gruppenoperation/pm S 2/Normalteiler/Linear und nicht/Aufgabe

Wir betrachten die Gruppe

$G=\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\}\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}$

(${}K$ sei ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$) mit dem Normalteiler ${}S_{2}\subseteq G$. Man gebe für den Invariantenring ${}K[U,V]^{S_{2}}$ zwei Algebraerzeugendensysteme aus jeweils zwei Erzeugern an, derart, dass ${}G/S_{2}$ auf dem einen System linear operiert und auf dem anderen nicht.

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