Endliche lineare Gruppenoperation/pm S 2/Normalteiler/Linear und nicht/Aufgabe

Wir betrachten die Gruppe

G=\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\}\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}

( ${}K$ sei ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ ) mit dem Normalteiler

{}S_{2}\subseteq G

. Man gebe für den Invariantenring

{}K[U,V]^{S_{2}}

zwei Algebraerzeugendensysteme aus jeweils zwei Erzeugern an, derart, dass

{}G/S_{2}

auf dem einen System linear operiert und auf dem anderen nicht.