Endliche p-Gruppe/Direkt/Nichttrivial/Zentrum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von der Klassengleichung aus, also von

${}\operatorname {ord} {\left(G\right)}=\operatorname {ord} {\left(Z\right)}+\sum _{j\in J}n_{j}\,,$

wobei ${}n_{j}$ den Index der zu den mehrelementigen Konjugationsklassen ${}C_{j}$ gehörenden echten Untergruppen (im Sinne von Fakt) ${}G_{j}\subseteq G$ bezeichnet. Jedes ${}n_{j}$ ist nach Fakt  (3) ein Vielfaches von ${}p$. Daher ist auch ${}\operatorname {ord} {\left(Z\right)}$ ein Vielfaches von ${}p$. Somit ist ${}Z$ nicht trivial.

Zur bewiesenen Aussage