Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}a\in G$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Menge  ${}G_{a}={\left\{x\in G\mid xax^{-1}=a\right\}}$  ist eine Untergruppe von ${}G$.
2. Sei  ${}K=[a]$  die Konjugationsklasse zu ${}a$. Dann ist

   ${}{\#\left(K\right)}=\operatorname {ind} _{G}G_{a}\,.$

3. Die Elementanzahl von  ${}K=[a]$  ist ein Teiler von ${}\operatorname {ord} {\left(G\right)}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen