Endliche und sigma-endliche Prämaße/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein Prämaß auf ${}M$. Dann heißt ${}\mu$ endlich, wenn

${}\mu (T)<\infty \,$

für alle ${}T\in {\mathcal {P}}$ ist.

Wenn die Gesamtmenge ${}M$ zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung ${}\mu (M)<\infty$ aufgrund der Monotonie.

Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der ${}\mathbb {R} ^{n}$ kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch die abzählbar vielen Kugeln ${}B\left(0,k\right)$, ${}k\in \mathbb {N}$, die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein Prämaß auf ${}M$. Dann heißt ${}\mu$ ${}\sigma$-endlich, wenn man ${}M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen ${}M_{i}$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit

${}\mu (M_{i})<\infty \,$

schreiben kann.