Endliche zyklische Gruppe/Darstellung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$.

Dann ist jede Darstellung einer endlichen zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(r)$ in ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ in einer geeigneten Basis von der Form

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}\zeta _{1}^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta _{2}^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta _{n-1}^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta _{n}^{i}\end{pmatrix}},$

mit gewissen Einheitswurzeln ${}\zeta _{j}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen