Endliche zyklische Gruppe/Ordnung teilt Gruppenordnung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}u$ ein Erzeuger von ${}G$. Dann ist die Ordnung von ${}u$ gleich der Ordnung ${}n$ von ${}G$. Wir schreiben ${}x=u^{m}$. Dann ist

${}x^{n}=(u^{m})^{n}=u^{mn}=(u^{n})^{m}=e^{m}=e\,.$

Daher gehört die Gruppenordnung ${}n$ zur Menge

${}M={\left\{k\in \mathbb {Z} \mid x^{k}=e\right\}}\,.$

Diese hat nach Fakt die Gestalt ${}M=\mathbb {Z} d$, wobei ${}d$ die Ordnung von ${}x$ ist. Also ist ${}n\in \mathbb {Z} d$ und ${}d$ ist ein Teiler von ${}n$.

Zur bewiesenen Aussage