Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt/Beweis

Beweis

1. Zu ${}f\in R$ ist

   ${}(\psi \circ F^{e})(f)=\psi (f^{q})=(\psi (f))^{q}=(F^{e}\circ \psi )(f)\,.$

2. Folgt aus (1), da ${}F^{e}$ auf ${}L$ injektiv ist.
3. Folgt aus (1), da ${}F^{e}$ auf ${}K$ die Identität ist.
4. Es sei ${}g\in L$, ${}g\notin K$, und ${}g=\psi (f)$. Wegen

   ${}(F^{e}\circ \psi )(f)=((\psi (f))^{q}=g^{q}\neq g=\psi (f)\,$

   ist

   ${}F^{e}\circ \psi \neq \psi \,.$

Zur bewiesenen Aussage