Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R$ eine ${}K$-Algebra. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann wirkt der ${}e$-te Frobeniushomomorphismus

$F^{e}\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{q},$

in folgender Weise.

1. Für einen ${}L$-rationalen Punkt

   $\psi \colon R\longrightarrow L$

   ist

   ${}(F^{e})^{*}(\psi )=\psi \circ F^{e}=F^{e}\circ \psi \,,$

   wobei das letzte ${}F^{e}$ den ${}e$-ten Frobenius auf ${}L$ bezeichnet.

2. Für einen ${}L$-rationalen Punkt

   $\psi \colon R\longrightarrow L$

   ist

   ${}\operatorname {kern} \left((F^{e})^{*}(\psi )\right)=\operatorname {kern} \psi \,.$

3. Für einen ${}K$-rationalen Punkt

   $\psi \colon R\longrightarrow K$

   ist

   ${}(F^{e})^{*}(\psi )=\psi \,.$

4. Für ${}K\neq L$ und ${}\psi \colon R\rightarrow L$ surjektiv ist

   ${}(F^{e})^{*}(\psi )\neq \psi \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen