Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Frobenius/Lineare Fortsetzung/Beispiel

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra Dann ist die ${}{\overline {K}}$-lineare Fortsetzung von ${}F^{em}$ gleich

${\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}},\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q^{m}}.$

Diese Abbildung ist wohldefiniert, da mit ${}f\in {\mathfrak {a}}$ auch ${}f^{q}=f\cdot f^{q-1}\in {\mathfrak {a}}$ ist. Wegen ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ stimmt für ${}f$ der ${}e$-te Frobenius mit dem linear fortgesetzten Frobenius überein.