Endlicher Basiskörper/Algebra/Algebraischer Abschluss/Fortsetzung des Frobenius/Definition

Lineare Fortsetzung des Frobenius

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R$ eine ${}K$-Algebra. Es sei ${}{\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von ${}K$. Dann heißt zu ${}m\in \mathbb {N}$

$F^{em}\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}},\,f\otimes 1\longmapsto f^{q^{m}}\otimes 1,$

die ${}{\overline {K}}$-lineare Fortsetzung des Frobeniushomomorphismus ${}F^{em}\colon R\rightarrow R$.