Endlicher Körper/3/9/Zerfällungskörper/Aufgabe

Zeige, dass das Polynom ${}X^{9}-X\in \mathbb {Z} /(3)[X]$ die Zerlegung

{}{\begin{aligned}X^{9}-X&={\left(X^{3}-X\right)}{\left(X^{8}+X^{6}+X^{4}+X^{2}+1\right)}\\&=X(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}{\left(X^{2}+2X+1\right)}{\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\end{aligned}}

besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige, dass die Restklassenkörper

\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+1\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+2X+1\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+2\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+2X+2\right)}

untereinander isomorph

sind.