Endlicher Körper/Endlicher Vektorraum/Aufgabe/Lösung

a) Da es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{d}$ gibt, ist ${}V$ isomorph zu ${}K^{d}$. Dieser Raum besteht aus allen ${}d$-Tupeln und besitzt damit ${}q^{d}$ Elemente.

b) Wenn ${}V$ endlichdimensional ist, so folgt die Endlichkeit der Menge ${}V$ direkt aus a). Wenn ${}V$ endlich ist, so kann man ganz ${}V$ als endliches Erzeugendensystem wählen. Eine Teilmenge davon bildet eine endliche Basis. Also ist ${}V$ endlichdimensional.

c) Wir überlegen uns, auf wie viele Arten wir eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{d}$ zusammenstellen können. Damit müssen wir nur beachten, dass ${}v_{i+1}$ jeweils nicht im dem von den ${}v_{1},\ldots ,v_{i}$ erzeugten Untervektorraum liegt. Durch diese Bedingung besitzt dieser Untervektorraum insbesondere ${}q^{i}$ Elemente. Das bedeutet, dass man für ${}v_{i+1}$ genau ${}q^{d}-q^{i}$ Auswahlmöglichkeiten hat. Daher gibt es insgesamt

${}(q^{d}-1)(q^{d}-q)(q^{d}-q^{2})\cdots (q^{d}-q^{d-2})(q^{d}-q^{d-1})=q^{\frac {d(d-1)}{2}}(q^{d}-1)(q^{d-1}-1)(q^{d-2}-1)\cdots (q^{2}-1)(q-1)\,$

Basen.

Zur gelösten Aufgabe