Endlicher Ringhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}x_{i}\in S$, ${}i=1,\ldots ,n$, ein ${}R$-Algebraerzeugendensystem von ${}S$. Wegen der Endlichkeit erfüllen die ${}x_{i}$ Ganzheitsgleichungen der Form

${}x_{i}^{r_{i}}+\varphi (a_{i,r_{i}-1})x_{i}^{r_{i}-1}+\cdots +\varphi (a_{i,2})x_{i}^{2}+\varphi (a_{i,1})x_{i}+\varphi (a_{i,0})=0\,$

mit  ${}a_{i,j}\in R$.  Wir setzen

${}T:=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{i}^{r_{i}}+a_{i,r_{i}-1}X_{i}^{r_{i}-1}+\cdots +a_{i,2}X_{i}^{2}+a_{i,1}X_{i}+a_{i,0},\,i=1,\ldots ,n\right)}\,.$

Dies ist eine freie und endliche Algebra über ${}R$ und der durch ${}X_{i}\mapsto x_{i}$ festgelegte Einsetzungshomomorphismus ergibt die Abbildung ${}T\rightarrow S$, die surjektiv ist, da die ${}x_{i}$ die ${}R$-Algebra ${}S$ erzeugen.

Zur bewiesenen Aussage