Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f$ die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte.

1. Die leere Summe ist gleich ${}0$, die zweite Eigenschaft gehört zur Definition einer endlichen Wahrscheinlichkeitsdichte.
2. Ist klar, da die Werte der Dichte nichtnegativ sind.
3. Es ist

   ${}\mu {\left(\biguplus _{i\in I}E_{i}\right)}=\sum _{x\in \biguplus _{i\in I}E_{i}}f(x)=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{x\in E_{i}}f(x)\right)}=\sum _{i\in I}\mu (E_{i})\,.$

4. Folgt aus (3).
5. Folgt aus (3), da man ${}E\cup F$ disjunkt in die drei Mengen ${}E\cap (M\setminus F)$, ${}F\cap (M\setminus E)$ und ${}E\cap F$ zerlegen kann und somit

   ${}{\begin{aligned}\mu (E\cup F)&=\mu (E\cap (M\setminus F))+\mu (F\cap (M\setminus E))+\mu (E\cap F)\\&=\mu (E)-\mu (E\cap F)+\mu (F)-\mu (E\cap F)+\mu (E\cap F)\\&=\mu (E)+\mu (F)-\mu (E\cap F)\end{aligned}}$

   ist.

Zur bewiesenen Aussage