Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wegen ${}\varphi (0)=0=\lambda 0$ gehört der Nullvektor zu ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$. Es seien ${}u,v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ und sei ${}w=au+bv$. Dann ist

${}\varphi (w)=a\varphi (u)+b\varphi (v)=a\lambda u+b\lambda v=\lambda (au+bv)=\lambda w\,.$

(2) und (3) folgen direkt aus den Definitionen.

Zur bewiesenen Aussage