Es sei zunächst
eine direkte Zerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension
bzw.
. Wir wählen eine Basis
von
und eine Basis
von
, die zusammengenommen eine Basis von
bilden. Wegen der Invarianz ist einerseits
-

für
,
also
-

für
,
und andererseits
-

für
,
also
-

für
.
Daher sind in der beschreibenden Matrix von
bezüglich dieser Matrix alle Einträge im
-Block links unten und im
-Block rechts oben gleich
.
Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis
vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass
-

für
und
-

für
gilt. Dies bedeutet, dass
-

und
-

auf sich selbst abgebildet werden. Dies sind also invariante Untervektorräume der gesuchten Dimensionen, und ihre Summe ist direkt, da sie durch disjunkte Teilmengen einer Basis gegeben sind.