Endomorphismus/Invarianter Untervektorraum/Zerlegung/Matrix/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$ -Vektorraum ${}V$ . Es sei ${}k\leq n$ . Zeige, dass es genau dann eine direkte Summenzerlegung ${}V=U\oplus W$ in invariante Untervektorräume ${}U,W\subseteq V$ der Dimension ${}k$ bzw. ${}n-k$ gibt, wenn es eine Basis von ${}V$ gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von ${}\varphi$ die Gestalt

{\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{k1}&\ldots &a_{kk}&0&\ldots &0\\0&\ldots &0&a_{k+1k+1}&\ldots &a_{k+1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&\ldots &0&a_{nk+1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}

besitzt.